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tutorial9
This tutorial introduces the following concepts:
- Third party **direct** linear equations solvers
Currently there are the following linear equations solvers available:
- SuperLU: sequential sparse direct solver defined in pySuperLU module (BSD licence)
- SuperLU_MT: multi-threaded sparse direct solver defined in pySuperLU_MT module (BSD licence)
- Trilinos Amesos: sequential sparse direct solver defined in pyTrilinos module (GNU Lesser GPL)
- IntelPardiso: multi-threaded sparse direct solver defined in pyIntelPardiso module (proprietary)
- Pardiso: multi-threaded sparse direct solver defined in pyPardiso module (proprietary)
In this example we use the same conduction problem as in the tutorial 1.
The temperature plot (at t=100s, x=0.5, y=*):
.. image:: _static/tutorial9-results.png
:width: 500px
$\mathit{tutorial9}$
BC_bottom
Neumann boundary conditions at the bottom edge (constant flux)
${\mathit{BC}}_{\mathit{bottom}}$
$${ \left( { \left( { \left( - { \lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { { \partial { { \left( { T \left( { x, y } \right) } \right) } } } \over { \partial {y} } } \right) } \right) - { Q_b } } = 0; {\forall { x } \in \left( { x } _{0}, { x } _{n} \right) }, {{ y } = { y } _{0}}$$
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 1, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 2, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 2, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 3, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 3, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 3, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 4, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 4, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 4, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 5, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 5, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 5, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 6, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 6, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 6, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 7, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 7, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 7, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 8, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 8, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 8, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 9, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 9, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 9, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 10, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 10, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 10, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 11, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 11, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 11, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 12, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 12, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 12, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 13, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 13, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 13, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 14, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 14, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 14, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 15, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 15, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 15, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 16, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 16, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 16, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 17, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 17, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 17, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 18, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 18, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 18, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( - { tutorial9.\lambda_p } \right) } \right) \cdot \left( { \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 19, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.y \left( 2 \right) } - { tutorial9.y \left( 0 \right) } } \right) } \right) } \right) - { tutorial9.Q_b } } = 0$$
True
BC_top
Dirichlet boundary conditions at the top edge (constant temperature)
${\mathit{BC}}_{\mathit{top}}$
$${ { T \left( { x, y } \right) } - { T_t } } = 0; {\forall { x } \in \left( { x } _{0}, { x } _{n} \right) }, {{ y } = { y } _{n}}$$
$${ { tutorial9.T \left( { 1, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 2, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 3, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 4, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 5, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 6, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 7, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 8, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 9, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 10, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 11, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 12, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 13, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 14, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 15, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 16, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 17, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 18, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
$${ { tutorial9.T \left( { 19, 20 } \right) } - { tutorial9.T_t } } = 0$$
True
BC_left
Neumann boundary conditions at the left edge (insulated)
${\mathit{BC}}_{\mathit{left}}$
$${ { \partial { { \left( { T \left( { x, y } \right) } \right) } } } \over { \partial {x} } } = 0; {{ x } = { x } _{0}}, {\forall { y } \in \left[ { y } _{0}, { y } _{n} \right] }$$
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 0 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 0 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 0 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 1 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 1 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 1 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 2 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 2 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 3 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 3 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 3 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 4 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 4 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 4 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 5 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 5 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 5 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 6 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 6 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 6 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 7 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 7 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 7 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 8 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 8 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 8 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 9 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 9 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 9 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 10 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 10 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 10 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 11 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 11 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 11 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 12 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 12 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 12 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 13 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 13 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 13 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 14 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 14 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 14 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 15 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 15 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 15 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 16 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 16 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 16 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 17 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 17 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 17 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 18 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 18 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 18 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 19 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 19 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 19 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {-3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 0, 20 } \right) } } \right) + \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 1, 20 } \right) } } \right) } \right) - { tutorial9.T \left( { 2, 20 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 2 \right) } - { tutorial9.x \left( 0 \right) } } \right) } = 0$$
True
BC_right
Neumann boundary conditions at the right edge (insulated)
${\mathit{BC}}_{\mathit{right}}$
$${ { \partial { { \left( { T \left( { x, y } \right) } \right) } } } \over { \partial {x} } } = 0; {{ x } = { x } _{n}}, {\forall { y } \in \left[ { y } _{0}, { y } _{n} \right] }$$
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 0 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 0 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 0 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 1 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 1 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 1 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 2 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 2 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 2 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 3 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 3 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 3 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 4 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 4 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 4 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 5 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 5 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 5 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 6 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 6 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 6 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 7 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 7 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 7 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 8 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 8 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 8 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 9 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 9 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 9 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 10 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 10 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 10 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 11 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 11 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 11 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 12 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 12 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 12 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 13 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 13 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 13 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 14 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 14 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 14 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 15 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 15 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 15 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 16 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 16 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 16 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 17 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 17 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 17 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 18 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 18 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 18 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 19 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 19 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 19 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True
$${ \left( { \left( { \left( { {3 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 20, 20 } \right) } } \right) - \left( { {4 {}} \cdot { tutorial9.T \left( { 19, 20 } \right) } } \right) } \right) + { tutorial9.T \left( { 18, 20 } \right) } } \right) \over \left( { { tutorial9.x \left( 20 \right) } - { tutorial9.x \left( 18 \right) } } \right) } = 0$$
True